Question

17．設數列{a_n}（n∈N*）的前n項和為s_n，滿足s_n=2a_n-2
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）推導出S_n=2a_n-2，從而n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，進而a_n=2a_n-1（n≥2），由此得到數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，從而能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}$，利用等比數列前n項和公式能求出結果．

解答 解：（1）∵數列{a_n}（n∈N*）的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2，
由題意S_n=2a_n-2有n≥2，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得，a_n=2a_n-1（n≥2），
又a₁=2，故數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
故${a_n}={2^n}$．（6分）
（2）由（1）得$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}$
=$\frac{{\frac{1}{2}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{2^n}$．（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．