Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 利用已知遞推關(guān)系，作差b_n+1-b_n，證明為常數(shù)即可．

解答 證明：∵a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義、作差法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．