Question

13．在東辰學校的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元/個的價格出售．如果當天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠．根據以往統計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購進了90個面包，以x（單位：個，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤．
（Ⅰ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中間值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），則取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的頻率），求食堂每天面包需求量的平均數．
（Ⅱ）求T關于x函數解析式；
（III）根據直方圖估計利潤T不少于100元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出食堂每天面包需求量的平均數．
（Ⅱ）由題意，當60≤X≤90時，利潤T=5X+lg（90-X）-3×90=4X-180，當90＜X≤110時，利潤T=5×90-3×90=180，由此能求出T關于x函數解析式．
（III）利潤T不少于100元時，即4X-180≥100，即70≤X≤110，由此能求出利潤T不少于100元的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得食堂每天面包需求量的平均數為：
$\overline{x}$=65×0.025×10+75×0.015×10+85×0.020×10+95×0.025×10+105×0.015×10=84．
（Ⅱ）由題意，當60≤X≤90時，
利潤T=5X+lg（90-X）-3×90=4X-180，
當90＜X≤110時，利潤T=5×90-3×90=180，
即T=$\left\{\begin{array}{l}{4X-180，（60≤X≤90）}\\{180（90＜X≤110）}\end{array}\right.$．
（III）由題意，設利潤T不少于100元為事件A，
由（Ⅰ）知，利潤T不少于100元時，即4X-180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方圖可知，當70≤X≤110時，
所求利潤T不少于100元的概率P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-0.025×（70-60）=0.75．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查函數解析式的求法，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運用．