Question

18．已知雙曲線的中心在原點，左、右焦點F₁、F₂在坐標軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點$（{4，-\sqrt{10}}）$，點M（3，m）在雙曲線上，
（1）求雙曲線的方程；
（2）求證：$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}M}=0$；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線方程為x²-y²=λ，點代入求出參數λ的值，從而求出雙曲線方程；
（2）先求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}$，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$的坐標，把點M（3，m）代入雙曲線，由數量積的坐標表示可得出$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}M}=0$；
（3）求出三角形的高，即|m|的值，運用三角形的面積公式可得其面積．

解答 解：（1）由離心率e=$\sqrt{2}$，則c=$\sqrt{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=a，
可設所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
則由點（4，-$\sqrt{10}$）在雙曲線上，
知λ=4²-（-$\sqrt{10}$）²=6，
則雙曲線方程為x²-y²=6；
（2）證明：若點M（3，m）在雙曲線上，
則3²-m²=6∴m²=3，
由雙曲線x²-y²=6，知F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），
又$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（2$\sqrt{3}$+3，m），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（3-2$\sqrt{3}$，m），
則$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（2$\sqrt{3}$+3）（3-2$\sqrt{3}$）+m²=9-12+3=0；
（3）△F₁MF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$×2c•|m|=c|m|
=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．解答的關鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．