Question

3．已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+mx²-（2m+1）x．
（Ⅰ）當m=1時，求曲線y=g（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）當m＞0時，討論函數g（x）的單調性；
（Ⅲ）設斜率為k的直線與函數f（x）的圖象交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，其中x₁＜x₂，求證：$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算g′（2）的值，求出切線方即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅲ）問題轉化為證明$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，令$\frac{x_2}{x_1}=t（t＞1）$，則只需證：$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1（t＞1）$，令$u（t）=lnt+\frac{1}{t}-1$，根據函數的單調性證明結論即可．

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，g（x）=lnx+x²-3x（x＞0），
則$g'（x）=\frac{1}{x}+2x-3$（x＞0），$g'（2）=\frac{3}{2}$．
又g（2）=ln2-2，所以切線方程為，即$y=\frac{3}{2}x-5+ln2$．
（Ⅱ）$g'（x）=\frac{（2mx-1）（x-1）}{x}$，令g'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2m}$，x₂=1．
①當$\frac{1}{2m}＜1$，即$m＞\frac{1}{2}$時，令g'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2m}$或x＞1；令g'（x）＜0，得$\frac{1}{2m}＜x＜1$，
所以當$m＞\frac{1}{2}$時，g（x）單調增區間為$（0，\frac{1}{2m}）$和（1，+∞）；單調減區間為$（\frac{1}{2m}，1）$．
②當$\frac{1}{2m}＞1$，即$0＜m＜\frac{1}{2}$時，令g'（x）＞0，得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{2m}$，
所以當$0＜m＜\frac{1}{2}$，g（x）單調增區間為（0，1）和$（\frac{1}{2m}，+∞）$；單調減區間為$（1，\frac{1}{2m}）$．
③當$\frac{1}{2m}=1$，即$m=\frac{1}{2}$時，$g'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}＞0$，
易知g（x）單調增區間為（0，+∞）．
（Ⅲ）根據題意，$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．（以下用分析法證明）
要證$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$，只要證$\frac{1}{x_2}＜\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$，
只要證$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，
令$\frac{x_2}{x_1}=t（t＞1）$，則只需證：$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1（t＞1）$，令$u（t）=lnt+\frac{1}{t}-1$，
則$u'（t）=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}＞0$，所以u（t）在（1，+∞）上遞增，
∴u（t）＞u（1）=0，即$lnt＞1-\frac{1}{t}（t＞1）$，同理可證：lnt＜t-1，
綜上，$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1（t＞1）$，即$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$得證．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．