Question

13．若偶函數f（x）在區間（-∞，0]上單調遞減，且f（3）=0，則不等式（x-1）f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-3，1）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-3，1]∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根據題意，由函數的奇偶性與單調性分析可得當x＜-3或x＞3時，f（x）＞0；當-3＜x＜3時，f（x）＜0，則分x＜-3或x＞3與-3＜x＜3兩種情況討論（x-1）f（x）＞0的解集，綜合即可得答案．

解答 解：根據題意，偶函數f（x）在區間（-∞，0]上單調遞減，則其在[0，+∞）上為增函數，
又由f（3）=0，則f（-3）=0，
則有當x＜-3或x＞3時，f（x）＞0；當-3＜x＜3時，f（x）＜0，
當x＜-3或x＞3時，若（x-1）f（x）＞0，必有x-1＞0，解可得x＞3，
當-3＜x＜3時，若（x-1）f（x）＞0，必有x-1＜0，解可得-3＜x＜1，
綜合可得：不等式（x-1）f（x）＞0的解集是（-3，1）∪（3，+∞）；
故選：B．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，注意結合函數的奇偶性、單調性，對不等式進行分類討論．