Question

15．已知a_n=$\frac{n（1-b）+3b-2}{{{b^{n-1}}}}$（b＞1，n≥2），若對不小于4的自然數n，恒有不等式a_n+1＞a_n成立，則實數b的取值范圍是（3，+∞）．

Answer 1

分析 根據題意可得b＞$\frac{n-1}{n-3}$=1+$\frac{2}{n-3}$，再根據數列的函數特征，即可求出b的取值范圍．

解答 解：若對不小于4的自然數n，恒有不等式a_n+1＞a_n成立，
則$\frac{（n+1）（1-b）+3b-2}{{b}^{n}}$＞$\frac{n（1-b）+3b-2}{{b}^{n-1}}$，
即（n+1）（1-b）+3b-2＞n（1-b）b+3b²-2b，
即（1-b）（n+1-nb）＞（3b-2）（b-1），
∵b＞1，
∴nb-（n+1）＞3b-2，
∴b（n-3）＞n-1，
∵n≥4，
∴b＞$\frac{n-1}{n-3}$=1+$\frac{2}{n-3}$，
∵設T_n=1+$\frac{2}{n-3}$，當n≥4時，該數列為遞減數列，
∴1+$\frac{2}{n-3}$≤1+$\frac{2}{4-3}$=3，
∴b＞3，
故b的取值范圍為（3，+∞），
故答案為：（3，+∞）

點評 本題考查數列遞推關系式的應用，突出考查等價轉化思想與構造函數思想的綜合運用，求得b＞$\frac{n-1}{n-3}$=1+$\frac{2}{n-3}$，也是難點，亮點，屬于中檔題．