Question

5．如圖，一個三棱錐的三視圖均為直角三角形．若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 16π
• C． 24π
• D． 25π

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體為三棱錐，底面三角形BCD為直角三角形，BC⊥BD，側棱AB⊥底面BCD，AB=BC=2，BD=4．利用補形思想求出該棱錐外接球的半徑得答案．

解答 解：由三視圖還原原幾何體如圖：

該幾何體為三棱錐，底面三角形BCD為直角三角形，BC⊥BD，
側棱AB⊥底面BCD，AB=BC=2，BD=4．
該幾何體的外接球即為以B為頂點，以BC，BA，BD為棱的長方體的外接球，
則外接球的直徑2R=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{6}$，
∴R=$\sqrt{6}$．
∴該球的表面積為4π×$（\sqrt{6}）^{2}=24π$．
故選：C．

點評 本題考查由三視圖求幾何體體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．