Question

20．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，0＜x＜9}\\{\frac{9}{x}+1，x≥9}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）=c（a≠b），且f′（a）＜0（f′（x）為函數f（x）的導數），則a，b，c的大小關系是（　　）

• A． c＜a＜b
• B． a＜b＜c
• C． c＜b＜a
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 作出函數f（x）的圖象，求出導數，判斷可得a＞9，1＜b＜9，0＜c＜2，求出b=3^c，b-c=3^c-c，0＜c＜2，由g（c）=3^c-c，0＜c＜2，求出導數，判斷單調性，可得b＞c，即可得到所求大小關系．

解答 解：作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，0＜x＜9}\\{\frac{9}{x}+1，x≥9}\end{array}\right.$的圖象，
由f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{xln3}，0＜x＜9}\\{-\frac{9}{{x}^{2}}，x≥9}\end{array}\right.$，
可得1＜b＜9，a＞9，
log₃b=$\frac{9}{a}$+1=c，
可得0＜c＜2，
b=3^c，b-c=3^c-c，0＜c＜2，
由g（c）=3^c-c，0＜c＜2，
g′（c）=3^cln3-1＞0，
g（c）在（0，2）遞增，可得g（c）＞g（0）=1＞0，
即有b＞c，
即a＞b＞c．
故選：C．

點評 本題考查分段函數的應用：比較自變量的大小，注意運用數形結合的思想方法和構造函數，運用單調性，考查判斷能力和分析問題的能力，屬于中檔題．