Question

10．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n²+a_n=2S_n，n∈N^*．
（1）求a₁及a_n；
（2）求滿足S_n＞210時(shí)n的最小值；
（3）令b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}=2{a}_{1}$，由此能求出a₁=1，由a_n²+a_n=2S_n，得${{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n-1}=2{S}_{n-1}$，從而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，進(jìn)而數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n=n．
（2）求出S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，由此能求出滿足S_n＞210時(shí)n的最小值．
（3）由題意得${b}_{n}={4}^{n}$，從而數(shù)列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是首項(xiàng)和公比都是$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，由此能證明對(duì)一切正整數(shù)n，都有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n²+a_n=2S_n，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時(shí)，${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}=2{a}_{1}$，且a₁＞0，解得a₁=1，
∵a_n²+a_n=2S_n，①，∴${{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n-1}=2{S}_{n-1}$，②
①-②，得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n-1}=2{a}_{n}$，
整理，得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，a_n=n．
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵S_n＞210，∴$\frac{n（n+1）}{2}＞210$，
整理，得n²+n-420＞0，解得n＞20（n＜-21舍），
∴滿足S_n＞210時(shí)n的最小值是21．
證明：（3）由題意得${b}_{n}={4}^{n}$，則$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是首項(xiàng)和公比都是$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{1}{3}$．
故對(duì)一切正整數(shù)n，都有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．