Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂（-a_n+1），求數(shù)列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n=2a_n+n（n∈N⁺）與S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2）作差、變形可知a_n-1=2（a_n-1-1），進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．
（2）由b_n=log₂（-a_n+1）=log₂2ⁿ=n．得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，累加即可求解．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n+n（n∈N⁺）
∴S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2）
兩式相減得：a_n=2a_n-1-1，
變形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁-1=-1-2=-2，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為-2、公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，a_n=-2ⁿ+1，
（2）∵b_n=log₂（-a_n+1）=log₂2ⁿ=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查了裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．