Question

2．已知數列{a_n}是首項為1的正項數列，且a${\;}_{n+1}^{2}$+3a_n+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3a_n-a_na_n+1=0，求數列的通項公式a_n．

Answer 1

分析 a${\;}_{n+1}^{2}$+3a_n+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3a_n-a_na_n+1=0，因式分解為：（a_n+1-2a_n+3）（a_n+1+a_n）=0，由a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-2a_n+3=0，變形即可證明．

解答 解：∵a${\;}_{n+1}^{2}$+3a_n+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3a_n-a_na_n+1=0，
∴（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）+3（a_n+1+a_n）=0，
化為：（a_n+1-2a_n+3）（a_n+1+a_n）=0，∵a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n+3=0，
化為：a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=4．
∴數列{a_n-3}是等比數列，首項為4，公比為2．
∴a_n+3=4×2^n-1，
可得a_n=2ⁿ⁺¹-3．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．