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2.已知數列{an}是首項為1的正項數列,且a${\;}_{n+1}^{2}$+3an+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3an-anan+1=0,求數列的通項公式an

分析 a${\;}_{n+1}^{2}$+3an+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3an-anan+1=0,因式分解為:(an+1-2an+3)(an+1+an)=0,由an+1+an>0,可得an+1-2an+3=0,變形即可證明.

解答 解:∵a${\;}_{n+1}^{2}$+3an+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3an-anan+1=0,
∴(an+1-2an)(an+1+an)+3(an+1+an)=0,
化為:(an+1-2an+3)(an+1+an)=0,∵an+1+an>0,
∴an+1-2an+3=0,
化為:an+1+3=2(an+3),a1+3=4.
∴數列{an-3}是等比數列,首項為4,公比為2.
∴an+3=4×2n-1
可得an=2n+1-3.

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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