Question

17．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數列的前n項和公式、通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）推導出${b}_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，由此利用錯位相減法能求出{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
∵等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．n∈N^*．
（2）由已知得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，a_n=2n-1．n∈N^*．
∴${b}_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴{b_n}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+（\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n}}）-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．