Question

6．已知有相同的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的橢圓$\frac{x^2}{m}+{y^2}$=1（m＞1）和雙曲線$\frac{x^2}{n}-3{y^2}$=1（n＞0），P是它們的一個交點，則∠F₁PF₂=（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義確定焦半徑之間的關系，再利用兩曲線有相同的焦點，確定m，n的關系，從而可確定∠F₁PF₂的大小．

解答 解：由題意，不妨設P是雙曲線右支上的一點，|PF₁|=x，|PF₂|=y，則x+y=2$\sqrt{m}$，x-y=2$\sqrt{n}$，
x=$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，y=$\sqrt{m}-\sqrt{n}$
∴x²+y²=2（m+n）
∵兩曲線有相同的焦點
∴m-1=n+$\frac{1}{3}$
∴m=n+$\frac{4}{3}$．
∴x²+y²=4（n+$\frac{2}{3}$），|F₁F₂|²=4（n+$\frac{1}{3}$），
由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂
∴4（n+$\frac{1}{3}$）=2m+2n-2（m-n）cos∠F₁PF₂
即：4n+$\frac{4}{3}$=4n+$\frac{8}{3}$-$\frac{8}{3}$cos∠F₁PF₂
∴cosF₁PF₂=$\frac{1}{2}$．∠F₁PF₂=60°．
故選：B．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的定義及幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．