Question

16．某宇宙飛船運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓，測得近地點距地面m千米，遠地點距地面n千米，地球半徑為r千米，則該飛船運行軌道的短軸長為（　　）

• A． 2$\sqrt{（m+r）（n+r）}$千米
• B． $\sqrt{（m+r）（n+r）}$千米
• C． 2mn千米
• D． mn千米

Answer 1

分析 宇宙飛船的運行軌道是以地球的中心F₂為一個焦點的橢圓，所以近地點距地心為a-c，遠地點距地心為a+c．就可求出a，c的值，再根據橢圓中b²=a²-c²求出b，就可得到短軸長．

解答 解：∵某宇宙飛船的運行軌道是以地球的中心F₂為一個焦點的橢圓，
設長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，
則近地點A距地心為a-c，遠地點B距地心為a+c．
∴a-c=m+r，a+c=n+r，
∴a=$\frac{m+n}{2}$+r，c=$\frac{n-m}{2}$．
又∵b²=a²-c²=（$\frac{m+n}{2}$+r）²-（$\frac{n-m}{2}$）²=mn+（m+n）r+r²=（m+r）（n+r）
∴b=$\sqrt{（m+r）（n+r）}$，∴短軸長為2b=2$\sqrt{（m+r）（n+r）}$千米，
故選A

點評 本題考查了橢圓的標準方程，主要在實際問題中考查a，b，c之間的關系，易錯點是沒有考慮地球的半徑，屬于中檔題．