Question

11．以下命題正確的個數為（　　）
（1）存在無數個α，β∈R，使得等式sin（α-β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；
（2）在△ABC中，“A＞$\frac{π}{6}$”是“sinA＞$\frac{1}{2}$”的充要條件；
（3）命題“在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B”的逆否命題是真命題；
（4）命題“若α=$\frac{π}{6}$，則sinα=$\frac{1}{2}$”的否命題是“若α≠$\frac{π}{6}$，則sinα≠$\frac{1}{2}$”．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1），利用正弦的和差公式驗證即可．
（2），A＞30°得不出sinA＞$\frac{1}{2}$，比如A=160°，若sinA＞$\frac{1}{2}$，根據正弦函數在（0，π）上的圖象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；
（3），命題“在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B”是真命題，其逆否命題是真命題；
（4），利用原命題與其否命題的關系判定．

解答 解：對于（1），sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+$\frac{π}{2}$，β任意．故正確．
對于（2），A＞30°得不出sinA＞$\frac{1}{2}$，比如A=160°，若sinA＞$\frac{1}{2}$，∵sin30°=sin150°=$\frac{1}{2}$，∴根據正弦函數在（0，π）上的圖象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；
得A＞30°是sinA＞$\frac{1}{2}$的必要不充分條件，故錯；
 對于（3），命題“在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B”是真命題，其逆否命題是真命題，故正確
對于（4），命題“若α=$\frac{π}{6}$，則sinα=$\frac{1}{2}$”的否命題是“若α≠$\frac{π}{6}$，則sinα≠$\frac{1}{2}$”，正確．
故選：C

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了三角、命題的否命題等基礎知識，屬于中檔題．