Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{899}{9}$，a_n+1=10a_n+1．
（1）證明數(shù)列{a_n+$\frac{1}{9}$}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=lg（a_n+$\frac{1}{9}$），T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n項和，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：構造等比數(shù)列，a_n+1+$\frac{1}{9}$=10a_n+$\frac{10}{9}$=10（a_n+$\frac{1}{9}$），則數(shù)列{a_n+$\frac{1}{9}$}是以100為首項，10為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知b_n=lg（a_n+$\frac{1}{9}$）=n+1，利用“裂項法”即可求得T_n，即可求得T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由a_n+1=10a_n+1得a_n+1+$\frac{1}{9}$=10a_n+$\frac{10}{9}$=10（a_n+$\frac{1}{9}$），
∴$\frac{{a}_{n+1}+\frac{1}{9}}{{a}_{n}+\frac{1}{9}}$=10，
∴數(shù)列{a_n+$\frac{1}{9}$}是等比數(shù)列，首項為a₁+$\frac{1}{9}$=100，公比為10，
∴a_n+$\frac{1}{9}$=100×10^n-1=10ⁿ⁺¹，
所以a_n=10ⁿ⁺¹-$\frac{1}{9}$．
（2）由（1）可得：b_n=lg（a_n+$\frac{1}{9}$）=lg10ⁿ⁺¹=n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性的關系，考查計算能力，屬于中檔題．