Question

9．已知函數f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{1}{2}$x．
（Ⅰ）求證：函數f（x）是偶函數．
（Ⅱ）求證：對x∈R，f（x）≥1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性即可；（Ⅱ）將f（x）變形，結合不等式的性質求出f（x）的最小值，即可證明結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f（x）的定義域是R，
∵f（-x）=log₂（2^-x+1）+$\frac{1}{2}$x=log₂（2^x+1）-x+$\frac{1}{2}$x=log₂（2^x+1）-$\frac{1}{2}$x=f（x），
故函數f（x）是偶函數；
（Ⅱ）f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{1}{2}$x
=log₂（2^x+1）-log₂$\sqrt{{2}^{x}}$
=log₂（$\sqrt{{2}^{x}}$+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{x}}}$）
≥log₂2=1，（當且僅當x=0時取“=”），
故原命題得證．

點評 本題考查了函數的奇偶性問題，考查基本不等式的性質的應用以及轉化思想，是一道中檔題．