Question

19．已知函數(shù)$f（x）={log_a}x-3{log_a}2，\;a∈\{\frac{1}{5}，\frac{1}{4}，2，4，5，8，9\}$，則f（3a+2）＞f（2a）＞0的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡已知函數(shù)解析式，結(jié)合條件f（3a+2）＞f（2a）＞0求得a的個數(shù)，利用幾何概型得答案．

解答 解：∵$f（x）=lo{g}_{a}x-3lo{g}_{a}2=lo{g}_{a}\frac{x}{8}$，
且a∈{$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$，2，4，5，8，9}，$\left\{\begin{array}{l}{3+2a＞2a}\\{2a＞1}\\{\frac{2a}{8}＞1}\end{array}\right.$
∴基本事件總數(shù)為7．
當(dāng)a＞1時，由f（3a+2）＞f（2a）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}{3+2a＞2a}\\{2a＞1}\\{\frac{2a}{8}＞1}\end{array}\right.$，
解得a＞4，即a=5，8，9時才成立；
當(dāng)a＜1時，3a+2＜2a，即a＜-2，∴a不存在．
∴滿足f（3a+2）＞f（2a）＞0的基本事件個數(shù)為3，
∴滿足f（3a+2）＞f（2a）＞0的概率為$\frac{3}{7}$．
故選：B．

點評 本題考查幾何概型，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．