Question

19．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
（1）求C；
（2）如圖，設半徑為R的圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧$\widehat{AC}$上，∠PAB=θ，求四邊形APCB面積S（θ）的解析式及最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知結合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范圍可得A+B=$\frac{π}{2}$，從而求得C；
（2）把三角形ABC的三邊用R表示，再由S（θ）=S_△ABC+S_△APC，代入三角形面積公式化簡，然后由θ∈（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$）求得四邊形APCB面積S（θ）的最大值．

解答 解：（1）由$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{b}{a}$，得$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinB}{sinA}$，∴sin2A=sin2B，
∵2A，2B∈（0，2π），∴2A=2B，或2A+2B=π，
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
∵$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，∴A=B舍去，從而C=$\frac{π}{2}$；
（2）由條件得：c=2R，a=R，b=$\sqrt{3}$R，∠BAC=$\frac{π}{6}$，∠CAP=θ-$\frac{π}{6}$，θ∈（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$），
S（θ）=S_△ABC+S_△APC=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\frac{1}{2}AC•AP•sin（θ-\frac{π}{6}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}R•2Rcosθsin（θ-\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\sqrt{3}{R}^{2}cosθ（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}（\sqrt{3}sin2θ-cos2θ-1）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}sin（2θ-\frac{π}{6}）$，θ∈（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$），
∵$2θ-\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），
∴當$θ=\frac{π}{3}$時，$S（θ）_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$．

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數模型，考查了三角函數中的恒等變換應用，考查三角函數最值的求法，是中檔題．