Question

14．某校高一年級共有320人，為調查高一年級學生每天晚自習自主支配學習時間（指除了完成老師布置的作業后學生根據自己的需要進行學習的時間）情況，學校采用隨機抽樣的方法從高一學生中抽取了n名學生進行問卷調查．根據問卷得到了這n名學生每天晚自習自主支配學習時間的數據（單位：分鐘），按照以下區間分為七組：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學生中每天晚自習自主支配學習時間低于20分鐘的人數是4人．
（1）求n的值；
（2）利用頻率分布直方圖估計眾數，中位數及平均數
（3）問卷調查完成后，學校從第3組和第4組學生中利用分層抽樣的方法抽取7名學生進行座談，了解各學科的作業布置情況，并從這7人中隨機抽取兩名學生聘為學情調查聯系人．求第3組中至少有1名學生被聘為學情調查聯系人的概率．

Answer 1

分析 （1）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×（0.02+0.06）=4，由此能求出n．
（2）利用頻率分布直方圖，即可估計眾數，中位數及計算各個小矩形底邊中點的橫坐標乘以對應小矩形的面積之和，可得數據的平均數．
（3）第3組和第4組的頻數分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應抽$7×\frac{15}{15+20}$=3（人），第4組應抽7×$\frac{20}{15+20}$=4（人），確定基本事件的個數，即可求第3組中至少有1名學生被聘為學情調查聯系人的概率．

解答 解：（1）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，
則n×（0.02+0.06）=4，解得n=50，
（2）眾數：35  中位數：33 
平均數：由頻率分布直方圖得數據的平均數為（5×0.002+15×0.006+25×0.03+35×0.04+45×0.012+55×0.008+65×0.002）×10=33.6；
（3）第3組和第4組的頻數分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應抽$7×\frac{15}{15+20}$=3（人），第4組應抽7×$\frac{20}{15+20}$=4（人）．
設第3組中被抽到的3名學生分別是甲、乙、丙，第4組被抽到的4名學生分別是a、b、c、d，則從7人中抽取2人的基本事件空間Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（甲，d），（乙，丙），（乙，a），（乙，b），（乙，c），（乙，d）（丙，a）（丙，b），（丙，c），（丙，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共21個基本事件．
設事件A為“第3組中至少有1名學生被選聘”，則事件A共有15個基本事件，則P（A）=$\frac{15}{21}$=$\frac{5}{7}$
即第3組中至少有1名學生被選聘的概率是$\frac{5}{7}$．

點評 本題主要考查了頻率分布直方圖，以及平均數和古典概型的概率計算，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于基礎題．