Question

7．設x∈R，若函數f（x）為單調遞增函數，且對任意實數x，都有f[f（x）-e^x]=e+1（e是自然對數的底數），則方程f（x）-x-2=0的解的個數為（　　）個．

• A． 1
• B． 0
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 利用換元法 將函數轉化為f（t）=e+1，根據函數的對應關系求出t的值，即可求出函數f（x）的表達式，即可得到結論．

解答 解：設t=f（x）-e^x，
則f（x）=e^x+t，則條件等價為f（t）=e+1，
令x=t，則f（t）=e^t+t=e+1，
∵函數f（x）為單調遞增函數，
∴函數為一對一函數，解得t=1，
∴f（x）=e^x+1，
故f（x）-x-2=0，即e^x+1-x-2=0，解得：x=0，
故選：A．

點評 本題主要考查函數值的計算，利用換元法求出函數的解析式是解決本題的關鍵．