Question

18．已知函數f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）在區間（1，+∞）上是減函數，則實數a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 要使函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，我們可以轉化為f′（x）≤0在區間（1，+∞）上恒成立的問題來求解，然后利用二次函數的單調區間于對稱軸的關系來解答也可達到目標．

解答 解：∵f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a²x+a=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$，
由f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，可得-2a²x²+ax+1≤0在區間（1，+∞）上恒成立
①當a=0時，1≤0不合題意，
②當a≠0時，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4a}＜1}\\{-2{a}^{2}+a+1≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{4}或a＜0}\\{-2{a}^{2}+a+1≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤-$\frac{1}{2}$或a≥1，
故a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）

點評 本題以函數為載體，綜合考查利用函數的導數來解決有關函數的單調性，考查已知函數的單調性的條件下怎樣求解參數的范圍問題，考查分類討論，函數與方程，等數學思想與方法．