Question

13．橢圓C；$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，上頂點為B，坐標系原點O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過點N（0，t）的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且$\overrightarrow{PN}$=3$\overline{NQ}$，求△AON（點o為坐標系原點）周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，由三角形OAB的面積公式可知：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，代入即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l斜率不存在時，求得t=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，?當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$，則x₁=-3x₂，代入上式可得${x_1}=\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}$，${x_2}=\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}$，
求得：${k^2}=\frac{{9-3{t^2}}}{{16{t^2}-12}}$，則$\frac{{{t^2}（{3-{t^2}}）}}{{4{t^2}-3}}＞0$，即可求得t的取值范圍，由△AON的周長$l=2+|t|+\sqrt{{t^2}+4}$，$t∈（{-\sqrt{3}}\right.，\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$是偶函數(shù)，由t的取值范圍，即可求得△AON周長的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓C；$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，…（1分）
又∵坐標系原點O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
由三角形OAB的面積公式可知：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，…（2分）
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+\frac{3}{4}{a^2}}$，a=2，$b=\sqrt{3}$，
橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（4分）
（Ⅱ）?當(dāng)直線l斜率不存在時，
∵經(jīng)過點N（0，t）的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$．
∴$點N為橢圓短軸的四等分點，t=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（5分）
?當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+t，
又設(shè)直線l與橢圓C的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
∴$由\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+t\end{array}\right.得（4{k^2}+3）{x^2}+8ktx+4{t^2}-12=0$，
∴△＞0，即4k²-t²+3＞0，（*）
${x_1}+{x_2}=-\frac{8kt}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{t^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$…（7分）
又∵$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$，
∴x₁=-3x₂，代入上式可得${x_1}=\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}$，${x_2}=\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}$$\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}•\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}=\frac{{4{t^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
化簡得：16k²t²+3t²-12k²-9=0，
∴${k^2}=\frac{{9-3{t^2}}}{{16{t^2}-12}}$帶入（*）得$\frac{{{t^2}（{3-{t^2}}）}}{{4{t^2}-3}}＞0$，
即又t≠0，
∴（3-t²）（4t²-3）＞0
解得；$-\sqrt{3}＜t＜-\frac{{\sqrt{3}}}{2}或\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜t＜\sqrt{3}$，…（9分）
綜上所述實數(shù)t的取值范圍為：$（{-\sqrt{3}}\right.，\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$，…（10分）
又△AON的周長$l=2+|t|+\sqrt{{t^2}+4}$，$t∈（{-\sqrt{3}}\right.，\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$是偶函數(shù)．
∴當(dāng)$t∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$時，$l=2+t+\sqrt{{t^2}+4}$在$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$上單調(diào)遞增，
∴$l∈[{2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.+\frac{{\sqrt{19}}}{2}，\left.{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}）$，
∴△AON周長的取值范圍為[2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{19}}{2}$，2+$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$）．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．