Question

3．若直線y=kx+2與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是$[{-2，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，2}]$．

Answer 1

分析 作出直線y=kx+2與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x^2}}$得x²+y²=1，（y≥0），對(duì)應(yīng)的軌跡為上半圓，
∵直線y=kx+2過定點(diǎn)A（0，2），

∴當(dāng)k=±$\sqrt{3}$時(shí)，直線y=kx+2與圓x²+y²=1相切，
由圖象可知當(dāng)直線y=kx+2經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0）或C（1，0）時(shí)，直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)k=±2，
則若直線y=kx+1與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$恰有兩個(gè)共同點(diǎn)，
故k∈$[{-2，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，2}]$
故答案為：$[{-2，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，2}]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵