Question

2．如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上（異于點A，B），直線PA垂直于圓O所在的平面，點M是線段PB的中點．有以下四個命題：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正確的命題的序號是①④．

Answer 1

分析 ①先證明MO∥PA，即可判定MO∥平面PAC；
②PA在平面MOB內，可得①錯誤；
③可證PA⊥BC，BC⊥平面PAC．即可證明OC⊥平面PAC不成立；
④由③知BC⊥平面PAC，即可證明平面PAC⊥平面PBC．

解答 解：①因為MO∥PA，MO?平面PAC，PA?平面PAC，所以MO∥平面PAC；
②因為PA在平面MOB內，所以①錯誤；
③因為PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC．因為空間內過一點作已知平面的垂線有且只有一條，所以OC⊥平面PAC不成立，③錯誤；
④由③知BC⊥平面PAC，且BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
正確命題的序號是①④．
故答案為：①④．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．