Question

12．設函數y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，在區間（-∞，0）是減函數，且圖象過點（1，0），則不等式（x-1）f（x）≤0的解集為（-∞，0]∪[1，2]．

Answer 1

分析 由題意和偶函數的性質判斷出函數f（x）的對稱性，由圖象平移、f（x+1）的單調性、f（x）法對稱性判斷出f（x）的單調性，結合條件畫出f（x）的圖象，根據函數的單調性和圖象，求出不等式（x-1）f（x）≤0的解集．

解答 解：∵函數y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，
∴f（x+1）=f（-x+1），則f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∵函數y=f（x+1）在（-∞，0）上是減函數，
∴函數f（x）在（-∞，1）上是減函數，
在（1，+∞）上是增函數，
則由f（2）=0得f（0）=0，如圖所示：
∴當x＞1時，f（x）≤0=f（2），解得1＜x≤2
當x＜1時，f（x）≥0=f（0），得x≤0，即x≤0，
同時，當x=1時，（x-1）f（x）≤0也成立；
綜上，等式（x-1）f（x）≤0的解集是（-∞，0]∪[1，2]，
故答案為：（-∞，0]∪[1，2]．

點評 本題考查函數的單調性、奇偶性、對稱性的應用，函數圖象的平移，以及根據函數的單調性把不等式轉化為自變量不等式，考查轉化思想、數形結合思想、分類討論思想，屬于中檔題．