Question

20．已知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，A為銳角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，D為BC中點，AD=3，AB=$\sqrt{3}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）將函數化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）根據f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求解出A的值，D為BC中點，AD=3，AB=$\sqrt{3}$，利用余弦定理求AC的長．

解答 解：（1）由題可知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z），
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$，
∴函數f（x）的單調遞增區間為[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，（k∈Z），
（2）在△ABC中，A為銳角，
f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：A=$\frac{π}{3}$
又因為D為BC中點，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，
因為AD=3，所以：AE=6，在△ABE中，AB=$\sqrt{3}$，∠ABE=120°
由余弦定理可知：，cos∠ABE=cos120°=$\frac{3+B{E}^{2}-36}{2\sqrt{3}•BE}$，
解得：AC=BE=$\frac{3\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查三角函數的化簡以及恒等變換公式的應用，還有解三角形的內容，屬于中檔題．