Question

8．已知函數f（x）=e^x-x²+2ax．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在R上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導數，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導數，若f（x）是單調遞增函數，則f′（x）≥0恒成立，分離參數構造函數，求出函數的最值即可得到．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-2x+2，∵f′（1）=e，即k=e，f（1）=e+1，
∴所求切線方程為y-（e+1）=e（x-1），即ex-y+1=0，
（2）f′（x）=e^x-2x+2a，
∵f（x）在R上單調遞增，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴a≥x-$\frac{{e}^{x}}{2}$在R上恒成立，
設g（x）=≥x-$\frac{{e}^{x}}{2}$，
則g′（x）=1--$\frac{{e}^{x}}{2}$，
令g′（x）=0，解得x=ln2，
當x∈（-∞，ln2）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
當x∈（ln2，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
∴g（x）max=g（ln2）=ln2-1，
∴a≥ln2-1，
∴實數a的取值范圍為[ln2-1，+∞）

點評 本題主要考查導數的幾何意義以及函數單調性和導數之間的關系，綜合考查導數的應用，屬于中檔題．