Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1且a_n+1+$\frac{1}{{1+{a_n}}}$=0（n∈N*），則a₂₀₁₈=（　　）

• A． 2$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由a_n+1+$\frac{1}{{1+{a_n}}}$=0（n∈N*）可求得，a_n+3=a_n，即數(shù)列{a_n}的周期為3，從而可求得答案．

解答 解：∵${a_{n+3}}=-\frac{1}{{1+{a_{n+2}}}}=-\frac{1}{{1+（-\frac{1}{{1+{a_{n+1}}}}）}}=-\frac{1}{{1+（-\frac{1}{{1+（-\frac{1}{{1+{a_n}}}）}}）}}={a_n}$，
數(shù)列{a_n}的周期為3，
∴a₂₀₁₈=a_672×3+2=a₂=-$\frac{1}{1{+a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，求得數(shù)列{a_n}的周期為3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．