Question

10．已知拋物線C頂點在坐標原點，準線垂直于x軸，且過點M（2，2），A，B是拋物線C上兩點，滿足MA⊥MB，
（1）求拋物線C方程；
（2）證明直線AB過定點．

Answer 1

分析 （1）由題意可設拋物線C的標準方程為：y²=2px（p＞0），把點M（2，2）代入解得p，即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為：my=x+t，與拋物線方程聯立化為：y²-2my+2t=0，由MA⊥MB，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，利用數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系即可得出．

解答 （1）解：由題意可設拋物線C的標準方程為：y²=2px（p＞0），
把點M（2，2）代入可得：2²=2p×2，解得p=1．
∴拋物線C方程為y²=2x．
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為：my=x+t，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化為：y²-2my+2t=0，
△=4m²-8t＞0，∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=2t．
∵MA⊥MB，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁-t-2）（my₂-t-2）+（y₁-2）（y₂-2）=（m²+1）y₁y₂-（mt+2m+2）（y₁+y₂）+（t+2）²+4=0，
∴（m²+1）×2t-（mt+2m+2）×2m+（t+2）²+4=0，
化為：（2m+t+4）（2m-t-2）=0．
∴t=-2m-4或t=2m-2．
t=-2m-4時，直線AB的方程為：my=x-2m-4，即x-（2+y）m-4=0，此時直線AB經過定點（4，-2）．
t=2m-2時，直線AB的方程為：my=x+2m-2，即x+（2-y）m-2=0，此時直線AB經過定點（2，2），舍去．
綜上可得：直線AB經過定點（4，-2）．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系、直線經過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．