Question

2．中國傳統文化中很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美．給出定義：能夠將圓O的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優美函數”．給出下列命題：
①對于任意一個圓O，其“優美函數”有無數個；
②函數f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$可以是某個圓的“優美函數”；
③正弦函數y=sinx可以同時是無數個圓的“優美函數”；
④函數y=f（x）是“優美函數”的充要條件為函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形．
其中正確的命題是①③（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，故①正確；
作函數ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的大致圖象，從而判斷．
將圓的圓心放在正弦函數y=sinx的對稱中心上，則正弦函數y=sinx是該圓的“優美函數”；故③正確；
函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優美函數”，但函數y=f（x）是“優美函數”時，圖象不一定是中心對稱圖形，作圖舉反例即可．

解答 解：過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，
故對于任意一個圓O，其“優美函數”有無數個，故①正確；
函數f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的大致圖象如下，
，
故其不可能為圓的“優美函數”；②不正確；
將圓的圓心放在正弦函數y=sinx的對稱中心上，
則正弦函數y=sinx是該圓的“優美函數”；
故有無數個圓成立，故③正確；
函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優美函數”，
但函數y=f（x）是“優美函數”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如下，
，
故答案為：①③．

點評 本題考查了學生的學習能力及數形結合的思想方法應用，屬于中檔題．