Question

13．在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB=2$\sqrt{2}$，則正三棱錐S-ABC的外接球的體積為（　　）

• A． $\sqrt{6}π$
• B． $4\sqrt{3}π$
• C． $4\sqrt{2}π$
• D． 6π

Answer 1

分析 根據空間直線平面的垂直問題，得出棱錐的高，轉化頂點，補圖的正方體的外接球求解正三棱錐S-ABC的外接球的體積．

解答 解：取AC中點D，則SD⊥AC，DB⊥AC，
又∵SD⊥BD=D，∴AC⊥平面SDB，
∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB，
又∵AM⊥SB，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
∴SA⊥SB，SC⊥SB，
根據對稱性可知SA⊥SC，從而可知SA，SB，SC兩兩垂直，
將其補為立方體，其棱長為2，其外接球即為立方體的外接球，半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
∴正三棱錐S-ABC的外接球的體積=$\frac{4}{3}$π×3$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$π．
故選：B．

點評 本題考查了空間空間幾何體的性質，學生的空間思維能力，計算能力，屬于中檔題．