Question

11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）．
（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|=|OA|，求直線l的方程；
（3）設點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設N（6，n），則圓N為：（x-6）²+（y-n）²=n²，n＞0，從而得到|7-n|=|n|+5，由此能求出圓N的標準方程．
（2）由題意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，設l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，由此能求出直線l的方程．
（3）任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，此時，|$\overrightarrow{TA}$|≤10，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為$\sqrt{25-\frac{|TA{|}^{2}}{4}}$，由此能求出實數t的取值范圍．

解答 解：（1）∵N在直線x=6上，∴設N（6，n），
∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x-6）²+（y-n）²=n²，n＞0，
又圓N與圓M外切，圓M：x²+y²-12x-14y+60=0，即圓M：（（x-6）²+（x-7）²=25，
∴|7-n|=|n|+5，解得n=1，
∴圓N的標準方程為（x-6）²+（y-1）²=1．
（2）由題意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，設l：y=2x+b，
則圓心M到直線l的距離：d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，
則|BC|=2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$，BC=2$\sqrt{5}$，即2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=5或b=-15，
∴直線l的方程為：y=2x+5或y=2x-15．
（3）$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，
又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，即$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$≤10，解得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，
對于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，
此時，|$\overrightarrow{TA}$|≤10，
只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為$\sqrt{25-\frac{|TA{|}^{2}}{4}}$，
必然與圓交于P、Q兩點，此時|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，
因此實數t的取值范圍為t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

點評 本題考查圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．