Question

19．若函數(shù)g（x）=alnx，對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是a≤-1．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，（x∈[1，e]），令f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，（x∈[1，e]），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：由題意得到：a（x-lnx）≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，
∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x-lnx＜0，
因而a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]）
令f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，（x∈[1，e]），
又g′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時取等號），
∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（1）=-1，
∴a的取值范圍是a≤-1．
故答案為：a≤-1．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．