Question

8．已知正項數列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．
（1）證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數列，并求通項a_n；
（2）若數列{b_n}滿足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，再利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），可得b_n=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．再利用“錯位相減法”、等差數列與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數列，首項為$\frac{2}{3}$，公差為$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{2n}$．
（2）解：∵b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴$\frac{3}{2n}{b}_{n}$=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），解得b_n=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴數列{b_n}的前n項和=（2+4+…+2n）-$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}）$．
=$\frac{n（2+2n）}{2}$-$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}）$=n（n+1）-$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}）$．
設T_n=$1+\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴數列{b_n}的前n項和=n²+n-4+$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式性質及其求和公式、數列遞推關系、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．