Question

17．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=a（a∈R），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n-3，a_n＞3}\\{2a_n，a_n≤3}\end{array}\right.$，n∈N^*；
（1）若0＜a_n≤6，求證：0＜a_n+1≤6；
（2）若a=5，求S₂₀₁₆；
（3）若a=$\frac{3}{2^m-1}$（m∈N^*），求S_4m+2的值．

Answer 1

分析 （1）分當a_n∈（0，3]時和當a_n∈（3，6]時，分別求出a_n+1的范圍，得到要證的不等式．
（2）根據遞推公式得到，數列{a_n}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，從2項起，以3為周期的數列，即可求出答案．
（3）通過解不等式判斷出項的取值范圍，從而判斷出項之間的關系，選擇合適的求和方法求出和．

解答 解：（1）當a_n∈（0，3]時，則a_n+1=2a_n∈（0，6]，
當a_n∈（3，6]時，則a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，
所以當0＜a_n≤6時，總有0＜a_n+1≤6．
（2）a₁=a=5時，a₂=a₁-3=2，a₃=2a₂=4，a₄=a₃-3=1，a₅=2a₄=2，a₆=2a₅=4，a₇=a₆-3=1，
∴數列{a_n}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，
∴從2項起，以3為周期的數列，其和為2+4+1=7，
∴S₂₀₁₆=5+7×671+2+4=4708
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=$\frac{3}{2^m-1}$≤3，
當1＜k≤m時，2^k-1a≤$\frac{3×{2}^{m-1}}{{2}^{m-1}}$=$\frac{3×{2}^{m-1}}{{2}^{m-1}+{2}^{m-1}-1}$＜$\frac{3×{2}^{m-1}}{{2}^{m-1}}$=3．
故a_k=2^k-1a且a_m+1=2^ma．又a_m+1=$\frac{3×{2}^{m}}{{2}^{m}-1}$＞3，
所以a_m+2=a_m+1-3=2^ma-3=2^m•$\frac{3}{{2}^{m}-1}$-3=a．
故S_4m+2=S_4（m+1）-a_4m+3-a_4m+4=4（a₁+a₂+•…+a_m+1）-（2^m-1+2^m）a
=4（1+2+…+2^m）a-3×2^m-1a=4（2^m+1-1）a-3×2^m-1a
=（2^m+3-3-3×2^m-1）a=$\frac{39×{2}^{m-1}-12}{{2}^{m}-1}$．

點評 本題考查了數列的遞推公式和數列的求和公式，培養了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．