Question

18．已知定義在R上的函數f（x），滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＜0．且f（3）=-4．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅲ）在區間[-9，9]上，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （I）令x=y=0，可得f（0）=0．
（II）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即可得出奇偶性．
（III）任取實數x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=-f（x₂-x₁），
利用x＞0時，f（x）＜0，即可得出單調性，進而得出最值．

解答 解：（I）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（II）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
即對于定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（III）任取實數x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，這時，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁），
∵x＞0時f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[-9，9]上是減函數．
故f（x）的最大值為f（-9），最小值為f（9）．
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12．
∴f（x）在區間[-9，9]上的最大值為12，最小值為-12．

點評 本題考查了抽象函數的單調性與奇偶性、求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．