Question

3．若二次函數f（x）=x²+bx+c滿足f（2）=f（-2），且函數的f（x）的一個根為1．
（Ⅰ） 求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意的x∈[${\frac{1}{2}$，+∞），方程4mf（x）+f（x-1）=4-4m有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用函數的零點，即可求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）由題意可得4m²（x²-1）+（x-1）²-1+4m²-4≥0在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有解，反例變量，構造函數，利用二次函數的性質求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（2）=f（-2）且f（1）=0，函數的f（x）的一個根為1，b+c=0，
f（2）=f（-2）可得：4+2b+c=4-2b+c，
∴b=0，c=-1，
∴f（x）=x²-1．（5分）
（Ⅱ）由題意知：4m²（x²-1）+（x-1）²-1+4m²-4≥0在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有解，
整理得${m^2}≥\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}$在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有解，
令g（x）=$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}={（\frac{1}{x}+\frac{1}{4}）^2}-\frac{5}{16}$，
∵$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$，∴$\frac{1}{x}∈（{0，2}]$
當$\frac{1}{x}=2$時，函數g（x）得最大值$\frac{19}{4}$，
所以$-\frac{1}{4}＜m≤\frac{19}{4}$．（12分）

點評 本題考查二次函數的解析式的求法，二次函數的性質的應用，構造法的應用，考查轉化思想以及計算能力．