Question

12．已知焦點在x正半軸上，頂點為坐標系原點的拋物線過點A（1，-2）．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于兩點M、N，且△MNO（O為原點）的面積為2$\sqrt{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）令拋物線的方程為y²=2px（p＞0）．將點A（1，-2）的坐標代入方程，得p的值，可得拋物線C的方程；
（2）分類討論，設直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合面積公式，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）令拋物線的方程為y²=2px（p＞0）．將點A（1，-2）的坐標代入方程，得p=2，
故所求拋物線的標準方程為y²=4x．（3分）
（2）若直線l⊥x軸，則M（1，2），N（1，-2），此時△MNO的面積為2，不合題設；（4分）
若直線l與x軸不垂直，令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：y=k（x-1）（k≠0），將其代入拋物線方程y²=4x，并整理得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1．（7分）
于是|MN|=x₁+x₂+p=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$
又原點到直線l的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，（9分）
則2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
解得，k=-1或1．
綜上，所求直線l的方程為y=-x+1或y=x-1．（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．