Question

19．已知函數f（x）=lnx-$\frac{a}{x}-1$．
（1）若曲線y=f（x）存在斜率為-1的切線，求實數a的取值范圍；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）設函數g（x）=$\frac{x+a}{lnx}$，求證：當-1＜a＜0時，g（x）在（1，+∞）上存在極小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，問題轉化為x²+x+a=0存在大于0的實數根，根據y=x²+x+a在x＞0時遞增，求出a的范圍即可；
（2）求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍，判斷導函數的符號，求出函數的單調區間即可；
（3）求出函數g（x）的導數，根據f（e）=-$\frac{a}{e}$＞0，得到存在x₀∈（1，e）滿足g′（x₀）=0，從而得到函數的單調區間，求出函數的極小值，證出結論即可．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$-1得：
f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
由已知曲線y=f（x）存在斜率為-1的切線，
∴f′（x）=-1存在大于0的實數根，
即x²+x+a=0存在大于0的實數根，
∵y=x²+x+a在x＞0時遞增，
∴a的范圍是（-∞，0）；
（2）由f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
得：a≥0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增；
a＜0時，若x∈（-a，+∞）時，f′（x）＞0，
若x∈（0，-a），則f′（x）＜0，
故f（x）在（-a，+∞）遞增，在（0，-a）遞減；
（3）由g（x）=$\frac{x+a}{lnx}$及題設得：
g′（x）=$\frac{lnx-\frac{a}{x}-1}{{（lnx）}^{2}}$=$\frac{f（x）}{{（lnx）}^{2}}$，
由-1＜a＜0，得：0＜-a＜1，
由（2）得：f（x）在（-a，+∞）遞增，
∴f（1）=-a-1＜0，取x=e，顯然e＞1，
f（e）=-$\frac{a}{e}$＞0，
∴存在x₀∈（1，e）滿足f（x₀）=0，
即存在x₀∈（1，e）滿足g′（x₀）=0，
令g′（x）＞0，解得：x＞x₀，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x₀，
故g（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
∴-1＜a＜0時，g（x）在（1，+∞）存在極小值．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、是一道綜合題．