Question

4．如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F．
（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發，當乙出發1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；
（2）設∠CEF=θ，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且∠DEF=$\frac{π}{3}$，請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數，并求甲乙之間的最小距離．

Answer 1

分析 （1）由題意，BD=300，BE=100，△BDE中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；
（2）△BDE中，由正弦定理可得$\frac{200-2ysinθ}{sinθ}$=$\frac{y}{sin60°}$，可將甲乙之間的距離y表示為θ的函數，并求甲乙之間的最小距離．

解答 解：（1）由題意，BD=300，BE=100，
△ABC中，cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，
△BDE中，由余弦定理可得DE=$\sqrt{30{0}^{2}+10{0}^{2}-2•300•100•\frac{1}{2}}$=100$\sqrt{7}$m；
（2）由題意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ．
△CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ
△BDE中，由正弦定理可得$\frac{200-2ycosθ}{sinθ}$=$\frac{y}{sin60°}$，
∴y=$\frac{100\sqrt{3}}{sinθ+\sqrt{3}cosθ}$=$\frac{50\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，y_min=50$\sqrt{3}$m．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查正弦、余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．