Question

12．已知函數f（x）=x³-ax²+10．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）在區間[1，2]內存在實數x，使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，求導數，可得切線斜率，即可求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）由已知得$a＞\frac{{{x^3}+10}}{x^2}=x+\frac{10}{x^2}$，求出右邊的最小值，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=3x²-2x，f（2）=14，
曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率k=f'（2）=8，
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-14=8（x-2），即8x-y-2=0．
（2）由已知得$a＞\frac{{{x^3}+10}}{x^2}=x+\frac{10}{x^2}$，設$g（x）=x+\frac{10}{x^2}$（1≤x≤2），$g'（x）=1-\frac{20}{x^3}$，
∵1≤x≤2，∴g'（x）＜0，∴g（x）在[1，2]上是減函數，$g{（x）_{min}}=g（2）=\frac{9}{2}$，
∴$a＞\frac{9}{2}$，即實數a的取值范圍是$（\frac{9}{2}，+∞）$．

點評 本題考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．