Question

1．在極坐標系中，射線l：θ=$\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點A，橢圓Γ的方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy
（Ⅰ）求點A的直角坐標和橢圓Γ的參數方程；
（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點，F為橢圓Γ上任意一點，求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）射線l：θ=$\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點A（2，$\frac{π}{6}$），可得點A的直角坐標；求出橢圓直角坐標方程，即可求出橢圓Γ的參數方程；
（Ⅱ）設F（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），E（0，-1），求出相應的向量，即可求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）射線l：θ=$\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點A（2，$\frac{π}{6}$），點A的直角坐標（$\sqrt{3}$，1）；
橢圓Γ的方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）；
（Ⅱ）設F（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
∵E（0，-1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$cosθ-$\sqrt{3}$，sinθ-1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=-3cosθ+3-2（sinθ-1）=$\sqrt{13}$sin（θ+α）+5，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范圍是[5-$\sqrt{13}$，5+$\sqrt{13}$]．

點評 本題考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的轉化，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．