Question

8．對于給定的正整數數列{a_n}，滿足a_n+1=a_n+b_n，其中b_n是a_n的末位數字，下列關于數列{a_n}的說法正確的是（　�。�

• A． 如果a₁是5的倍數，那么數列{a_n}與數列{2ⁿ}必有相同的項
• B． 如果a₁不是5的倍數，那么數列{a_n}與數列{2ⁿ}必沒有相同的項
• C． 如果a₁不是5的倍數，那么數列{a_n}與數列{2ⁿ}只有有限個相同的項
• D． 如果a₁不是5的倍數，那么數列{a_n}與數列{2ⁿ}有無窮多個相同的項．

Answer 1

分析 分類討論：當a₁是5的倍數，則數列{a_n}的末位數字是5或0，數列{2ⁿ}的末位數字只能是2，4，6，8，不存在相同的項，判斷A不正確；當a₁不是5的倍數時，則這個數的末位數字只能是2，4，6，8，數列{a_n}的末位數字可以是2，4，6，8，數列{2ⁿ}的末位數字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項，且有無窮多個相同的項，由此判斷B，C不正確，D正確．

解答 解：如果a₁是5的倍數，則數列{a_n}的末位數字是5或0，數列{2ⁿ}的末位數字只能是2，4，6，8，不存在相同的項，因此A不正確；
當a₁不是5的倍數時，這個數加上它的末位數字，一直加下去，則這個數的末位數字只能是2，4，6，8，數列{a_n}的末位數字可以是
2，4，6，8，數列{2ⁿ}的末位數字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項，且有無窮多個相同的項，因此B，C不正確，D正確．
∴關于數列{a_n}的說法正確的是：D．
故選：D．

點評 本題考查命題真假判斷與應用，考查了數列遞推式的運用，求解此類題的關鍵是要對命題涉及的知識有很好的理解與掌握，是中檔題．