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3.已知直線l:y=x-1,雙曲線c1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,拋物線c2:y2=2x,直線l與c1相交于A,B兩點,與c2交于C,D兩點,若線段AB與CD的中點相同,則雙曲線c1的離心率為(  )
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$B.$\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{15}}{3}$D.$\sqrt{3}$

分析 分別聯立直線方程和雙曲線方程,直線方程和拋物線方程,消去y,運用中點坐標公式,可得AB,CD的中點坐標公式,再由雙曲線的基本量a,b,c的關系和離心率公式,即可得到所求值.

解答 解:聯立直線l:y=x-1,雙曲線c1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
可得(b2-a2)x2+2a2x+a2-a2b2=0,
直線l與c1相交于A,B兩點,
可得AB的中點坐標為(-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$,$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$),
聯立直線l:y=x-1,拋物線c2:y2=2x,
可得x2-4x+1=0,
直線l與c2相交于C,D兩點,
則CD的中點為(2,1),
若線段AB與CD的中點相同,
可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1,即a2=2b2
即為a2=2(c2-a2
即有2c2=3a2
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
故選:A.

點評 本題考查直線方程和雙曲線方程,拋物線方程聯立,注意運用中點坐標公式,考查雙曲線的離心率的求法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(1)求A∪B及(∁RA)∩B;
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(Ⅰ)若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況,則兩個群體中各應抽取多少人?
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A.[-3,3]B.$[-\frac{3}{2},3]$C.$[-3,\frac{{3\sqrt{3}}}{2}]$D.$[-3,\frac{3}{2}]$

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