Question

13．已知點P（-2，2）在圓O：x²+y²=r²（r＞0）上，直線l與圓O交于A，B兩點．
（1）r=2$\sqrt{2}$；
（2）如果△PAB為等腰三角形，底邊$AB=2\sqrt{6}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用點P（-2，2）在圓O：x²+y²=r²（r＞0）上，即可求出r；
（2）利用弦長公式，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）∵點P（-2，2）在圓O：x²+y²=r²（r＞0）上，
∴r=2$\sqrt{2}$．…（1分）
（2）因為△PAB為等腰三角形，且點P在圓O上，
所以PO⊥AB．
因為PO的斜率$k=\frac{2-0}{-2-0}=-1$，
所以可設(shè)直線l的方程為y=x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=8\end{array}\right.$得2x²+2mx+m²-8=0．△=4m²-8×（m²-8）=64-4m²＞0，
解得-4＜m＜4．
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得${x_{1，2}}=\frac{{-2m±\sqrt{64-4{m^2}}}}{4}=\frac{{-m±\sqrt{16-{m^2}}}}{2}$．
所以$|AB|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2（16-{m^2}）}=2\sqrt{6}$．
解得m=±2．
所以直線l的方程為x-y+2=0，x-y-2=0．…（5分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．