Question

18．我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布被制作成如圖表：

（Ⅰ）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？
（Ⅱ）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（Ⅲ）據統計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發放生活補貼，標準如下：
①80歲及以上長者每人每月發放生活補貼200元；
②80歲以下老人每人每月發放生活補貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發放生活補貼100元．試估計政府執行此計劃的年度預算．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從圖表中求出不能自理的80歲及以上長者占比，由此能求出用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，兩個群體中各應抽取多少人．
（Ⅱ）求出在600人中80歲及以上長者在老人中占比，用樣本估計總體，能求出80歲及以上長者占戶籍人口的百分比．
（Ⅲ）用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，則X的可能取值為0，120，200，220，300，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列、EX，從而能估計政府執行此計劃的年度預算．

解答 解：（Ⅰ）數據整理如下表：

健康狀況	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80歲及以上	20	45	20	15
80歲以下	200	225	50	25

從圖表中知采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，
80歲及以上應抽取：8×$\frac{15}{15+25}$=3人，
80歲以上應抽取：8×$\frac{25}{15+25}$=5人．
（Ⅱ）在600人中80歲及以上長者在老人中占比為：
$\frac{15+20+45+20}{600}=\frac{1}{6}$，
用樣本估計總體，80歲及以上長者為：66×$\frac{1}{6}$=11萬，
用樣本估計總體，80歲及以上長者占戶籍人口的百分比為$\frac{11}{400}×100%$=2.75%．
（Ⅲ）用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，
P（X=0）=$\frac{4}{5}$，
P（X=120）=$\frac{1}{5}×\frac{475}{600}$=$\frac{95}{600}$，
P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$=$\frac{17}{600}$，
P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$=$\frac{5}{600}$，
P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$=$\frac{3}{600}$，
則隨機變量X的分布列為：

X	0	120	200	220	300
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{95}{120}$	$\frac{17}{600}$	$\frac{5}{600}$	$\frac{3}{600}$

EX=$\frac{0+120×95+200×17+220×5+300×3}{600}$=28，
全市老人的總預算為28×12×66×10⁴=2.2176×10⁸元．
政府執行此計劃的年度預算約為2.2176億元．

點評 本題考查分表圖、分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列及應用，是中檔題，歷年高考中都是必考題型之一．