Question

17．在等差數列{a_n}中，a₂=4，前4項之和為18．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}=n•{2^{{a_n}-2}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出方程組，求出首項與公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法求和，求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d．
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\ 4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=18\end{array}\right.$…（2分）    
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=1.\end{array}\right.$…（4分）
所以a_n=n+2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=n•2ⁿ，…（6分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①…（7分）
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②…（8分）
①-②得：$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$…（9分）
$-{T_n}=\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=（1-n）×{2^{n+1}}-2$…（11分）
∴${T_n}=（n-1）×{2^{n+1}}+2$…（12分）

點評 本題考查數列求和，以及通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力．