Question

18．已知函數$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x$，
（1）求f（x）的值域；
（2）說明怎樣由y=sinx的圖象得到f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數的性質可求值域．
（2）由條件根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．

解答 解：（1）∵$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得：f（x）∈[-2，2]．
（2）把y=sinx的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得函數y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上的點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標不變，可得函數y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
再所得圖象上的點的縱坐標變為原來的2倍，橫坐標不變，可得函數y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象；

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的性質的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．